【Édition du Ministère de l'Éducation】Mathématiques du secondaire, 3e année du secondaire, semestre 2 : L'art des ombres : De l'ombre à la projection orthogonale

Imaginez l'Égypte il y a plusieurs milliers d'années, où de gigantesques pyramides projetaient de longues ombres sous le soleil brûlant. Ce n'était pas seulement une mesure du temps, mais le début de l'observation humaine des relations spatiales. Depuis les ancienscadrans solairesjusqu'aux plans techniques modernes, les humains ont progressivement transformé l'ombre, perçue intuitivement, en un langage mathématique rationnel.

1. Définition scientifique de la projection

La projection n'est pas simplement une « ombre noire », mais un enregistrement géométrique formé par la lumière traversant un objet et tombant sur un plan. Elle comporte trois éléments essentiels :

Ligne de projection (Projection Line): les rayons lumineux qui éclairent.
Plan de projection (Projection Plane): le plan sur lequel l'ombre est projetée (comme le sol ou un mur).
Projection (Projection): la figure obtenue sur le plan de projection.

Évolution des catégories

Projection centrale (Center Projection): une projection formée par des rayons lumineux partant d'un même point (source ponctuelle, comme une ampoule ou une flamme). Caractérisée par le phénomène « plus proche, plus grand ; plus loin, plus petit », elle est souvent utilisée dans la perspective.

Projection parallèle (Parallel Projection): une projection formée par des rayons lumineux parallèles (comme la lumière du soleil très éloigné). Elle se divise en :

Projection oblique: les lignes de projection sont inclinées par rapport au plan de projection.
Projection orthogonale (Orthographic): les lignes de projectionperpendiculairesau plan de projection. C'est la base pour dessiner des plans techniques (vues principales).

2. Fondation de la géométrie descriptive

Géométrie descriptivea été fondée par le mathématicien françaisGaspard Monge (Gaspard Monge) Il a étudié comment exprimer et recréer précisément des structures tridimensionnelles sur un plan bidimensionnel grâce à la projection orthogonale. On peut dire qu'il n'y aurait pas de langage technique moderne pour l'industrie de précision sans la projection orthogonale.

🎯 Règle fondamentale

On ne peut pas étudier les vues sans étudier les projections. L'essence de la projection orthogonale réside dans l'alignement perpendiculaire entre les rayons lumineux et le plan de projection, ce qui permet de conserver les dimensions réelles de la figure sans distorsion.

QUESTION 1

Xiaohua a pris plusieurs photos devant la Place Tiananmen à différentes heures. Laquelle de ces photos a été prise en après-midi ?

L'ombre pointe vers l'ouest

L'ombre pointe vers l'est

L'ombre est très courte et directement en dessous

L'ombre pointe vers le nord

QUESTION 2

Une projection formée par des rayons lumineux issus d'un même point (source ponctuelle) s'appelle :

Projection orthogonale

Projection oblique

Projection centrale

Projection parallèle

QUESTION 3

Dans une projection parallèle, si les lignes de projection sont perpendiculaires au plan de projection, cette projection s'appelle :

Projection centrale

Projection orthogonale

Projection en perspective

Projection oblique

QUESTION 4

Le mathématicien qui est connu comme le « père de la géométrie descriptive » et qui a fondé les bases de la théorie des projections est :

Euclide

Gaspard Monge

Archimède

Gauss

QUESTION 5

Parmi les phénomènes suivants, lequel relève de la projection centrale ?

L'ombre d'un arbre sous le soleil

L'ombre d'une personne sous un lampadaire

L'ombre de l'aiguille sur un cadran solaire

L'ombre produite par la lumière parallèle d'un projecteur

Défi approfondi : Logique des ombres et modélisation spatiale

Q1. [Association par liens] Associez les objets/phénomènes suivants à leurs caractéristiques de projection correspondantes.

1. La forme d'animal dans un jeu d'ombres —— A. Projection circulaire
2. Un cylindre éclairé par le soleil (éclairage vertical sur la base) —— B. Rayons depuis une source ponctuelle (projection centrale)
3. Une règle triangulaire sous un projecteur —— C. Projection rectangulaire (angle spécifique)
4. Un sphère éclairée perpendiculairement —— D. Contour de l'ombre
5. Un cylindre éclairé par le soleil (éclairage parallèle sur le côté) —— E. Projection parallèle

Réponses correctes :
1-D (la forme de la main crée le contour de l'ombre)
2-A (la projection de la base est un cercle)
3-B (le projecteur/source ponctuelle produit une projection centrale)
4-A (la projection d'une sphère est toujours un cercle)
5-C (la projection latérale est un rectangle)

Q2. [Analyse combinée] La figure 29.1-5 montre trois projections d'une règle triangulaire. Répondez :
(1) Quelle est la différence entre les lignes de projection de la figure (1) et celles des figures (2) et (3) ?
(2) Quelle est la différence entre la position des lignes de projection et du plan de projection dans les figures (2) et (3) ?

Solution modèle :
(1) Les lignes de projection de la figure (1) partent d'un point unique, donc elles sontProjection centrale; celles des figures (2) et (3) sont parallèles entre elles, donc elles sontProjection parallèle.
(2) Dans la figure (2), les lignes de projection sont inclinées par rapport au plan de projection, donc c'est uneProjection oblique; dans la figure (3), les lignes de projection sont perpendiculaires au plan de projection, donc c'est uneProjection orthogonale.

Q3. [Imagination spatiale] Observez un prisme pentagonal régulier. Quelles sont les projections orthogonales de chaque face lorsque la lumière vient du haut et frappe perpendiculairement ?

Réponses correctes :
1. Les faces supérieure et inférieure: puisqu'elles sont perpendiculaires aux rayons lumineux, leur projection orthogonale est congruente à la base,pentagone régulier.
2. Les cinq faces latérales: puisque les arêtes latérales sont perpendiculaires à la base, les faces latérales sont parallèles aux rayons lumineux, donc leurs projections orthogonales se réduisent toutes àsegments.

Q4. [Application pratique] Si vous disposez des vues principales d'un cône et d'un composé en forme de L, réfléchissez :
(1) Quelle est la forme du développement du cône ?
(2) Si vous fabriquez un modèle avec une pomme de terre, comment devriez-vous procéder au « découpage » selon les vues principales ?

Conseils pratiques :
(1) Le développement du cône est composé d'unsecteur circulaire(face latérale) et d'uncercle(base) .
(2) Lors de la fabrication du modèle, commencez par découper le contour extérieur de la base selon la vue de dessus, puis utilisez la vue principale et la vue de gauche pour déterminer la hauteur et la pente latérale, afin de garantir que les projections des trois directions correspondent exactement aux plans donnés.